Nền tảng hình học cho thuyết tương đối của Einstein được xây dựng trước đó khoảng 60 năm, bắt nguồn từ công trình của nhà toán học Georg Friedrich Bernhard Riemann.
Bernhard Riemann sinh ra tại Đức vào năm 1826. Ông là con thứ hai trong số sáu người con của một mục sư theo giáo phái Lutheran. Lúc còn nhỏ, ông khá nhút nhát nhưng có năng khiếu về toán học. Tại trường trung học ở Hannover, kiến thức của ông đôi khi vượt qua cả các giáo viên.
Bernhard Riemann (1826 – 1866). Ảnh: Wikimedia.
Năm 1846, gia đình của Riemann gom góp đủ tiền để gửi con trai đến Đại học Göttingen, nơi ông ban đầu dự định học thần học. Nhưng sau khi tham dự các bài giảng của Carl Friedrich Gauss và Moritz Stern, ông nhận thấy niềm đam mê thực sự của mình và quyết định thay đổi lĩnh vực nghiên cứu. Năm 1847, ông chuyển đến Đại học Berlin để theo học một số nhà toán học lỗi lạc đương thời.
Năm 1849, Riemann quay trở lại Đại học Göttingen để tham gia chương trình đào tạo tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Gauss. Ông hoàn thành luận án của mình vào năm 1851 về lý thuyết biến số phức, đặt nền móng cho cái mà ngày nay chúng ta gọi là bề mặt Riemann. Gauss mô tả Riemann là người có “sự độc đáo tuyệt vời” trong báo cáo về luận án.
Hai năm sau, khi Riemann cần phải thực hiện một bài thuyết trình để giành được vị trí giảng viên tại Đại học Göttingen, Gauss đã giao cho cậu học trò tài năng của mình đề tài về cơ sở của hình học – một chủ đề khá hóc búa đối với một nhà toán học trẻ như Riemann.
Riemann đã không làm người cố vấn của mình thất vọng. Mặc dù mắc chứng sợ nói trước đám đông, ông vẫn cố gắng trình bày một lý thuyết về các chiều không gian cao hơn [hoặc không gian đa chiều] trong bài thuyết trình với tựa đề “On the Hypotheses Which Lie at the Foundations of Geometry” vào ngày 10/6/1854. Trong đó, ông mô tả cách thức người ta có thể đo độ cong của không gian. Công trình này không được xuất bản cho đến hai năm sau khi ông qua đời, và ngày nay trở thành một trong những công trình quan trọng nhất về hình học.
Bài thuyết trình của Riemann gồm hai phần. Đầu tiên, câu hỏi về cách chúng ta có thể xác định một không gian n chiều đã dẫn đến định nghĩa của ông về không gian Riemann, bao gồm tenxơ độ cong Riemann. Trong phần thứ hai, Riemann đã thảo luận về chiều của không gian thực và người ta nên sử dụng loại hình học nào để mô tả nó.
Các ý tưởng của Riemann mới mẻ và đột phá đến mức chỉ có thiên tài toán học Gauss mới đánh giá được đầy đủ sự sâu sắc của chúng. Gauss đã vận dụng ý tưởng của Riemann để xây dựng lý thuyết bề mặt trong không gian hai chiều, giúp đánh giá độ cong một cách chính xác về mặt toán học. Trong một bức thư gửi nhà toán học Ferdinand Schweikart vào năm 1824, Gauss chia sẻ rằng độ cong của không gian có thể tồn tại. Ông thừa nhận: “Đôi khi tôi nghĩ rằng hình học Euclid không chính xác”.
Gauss đã chứng minh cần có một số duy nhất để mô tả độ cong gần một điểm trong không gian hai chiều (độ cong Gauss). Riemann đã mở rộng khái niệm này cho không gian với bất kỳ số chiều nào. Ông chứng minh người ta cần 6 số để mô tả độ cong của bất kỳ điểm nào trong không gian ba chiều và 20 số cho không gian bốn chiều.
Riemann tiếp tục có những đóng góp giá trị về toán giải tích, lý thuyết số, lý thuyết đa tạp phức (complex manifold) và các nhánh toán học khác. Năm 1857, ông xuất bản công trình nghiên cứu về các hàm abel, cũng như mở rộng ý tưởng về các tính chất tôpô của bề mặt Riemann.
Riemann trở thành giáo sư tại Đại học Göttingen vào năm 1859 và được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học Berlin.
Năm 1862, ông kết hôn với một người bạn của em gái mình. Tuy nhiên, hạnh phúc cá nhân của Riemann chỉ tồn tại trong thời gian ngắn. Đến cuối năm, ông bị cảm lạnh nghiêm trọng và phát triển thành bệnh lao. Ông trải qua mùa đông năm đó trong vùng khí hậu ấm hơn ở Sicily (Ý), nhưng không thể hồi phục hoàn toàn. Ông qua đời vào ngày 20/7/1866, hưởng thọ 39 tuổi.
Một số người phỏng đoán rằng người quản gia trong lúc thu dọn đống lộn xộn trong văn phòng của Riemann sau khi ông qua đời có thể đã vứt bỏ một số công trình ông chưa xuất bản.
Ngay cả sau khi mất, ảnh hưởng của Riemann đối với toán học và vật lý vẫn không hề bị giảm sút. “Các nhà vật lý sống cùng thời với Riemann thậm chí chưa thể theo kịp những ý tưởng mới về không gian của ông ấy”, Einstein nhận xét.
Riemann là một trong số các nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất vào giữa thế kỷ 19. Các công trình của ông đều mở ra những hướng nghiên cứu mới kết hợp giải tích và hình học, bao gồm lý thuyết hình học Riemann, hình học đại số và lý thuyết về đa tạp phức. Hiện tại, các nhà toán học vẫn liên tục tìm ra những ứng dụng khác từ những ý tưởng ban đầu của Riemann.
“Nếu Riemann sống thêm 20 hoặc 30 năm nữa, ông ấy sẽ trở thành Newton hoặc Einstein của thế kỷ 19”, nhà toán học Eric Temple Bell nhận định.
Ngoài Einstein, những đóng góp to lớn của Riemann đối với hình học đã truyền cảm hứng cho Lewis Carroll viết tác phẩm “Alice in Wonderland và Through the Looking Glass” (Alice ở xứ sở thần tiên và thông qua gương soi). Lewis Carroll là bút danh của giáo sư toán học Charles Dodgson tại Đại học Oxford.
Dodgson thực chất là một người tôn sùng hình học Euclid truyền thống và ưa tích không gian bằng phẳng. Ở nhiều khía cạnh, sự phi lý của thế giới tưởng tượng mà ông tạo ra cho Alice đã phản ánh sự thay đổi trong nền tảng kiến thức toán học vào cuối thế kỷ 19, trong đó các học giả bắt đầu đắm chìm trong một thế giới với không gian cong và các số ảo (số phức).
| Riemann là một trong số các nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất vào giữa thế kỉ 19. Các công trình ông đều mở ra những hướng nghiên cứu mới kết hợp giải tích và hình học, bao gồm lý thuyết hình học Riemann, hình học đại số và lý thuyết về đa tạp phức. |
